数学ガールの秘密ノート 複素数の広がり, 結城浩

SBクリエイティブ
2022-03-21 読了 (図書館)

実数との対比で、複素平面が語られている。その「実数」も、ベクトルのように大きさと向きを持っている、ととらえ、数直線上での動きをとらえるという話が秀逸。

正五角形をコンパスと定規（長さを測るのではなく直線を描く道具）だけで描く、のには驚いた。

数学ガールの秘密ノート 行列が描くもの, 結城浩

2021-08-22 読了（図書館）
SBクリエイティブ

相変わらず、たいへん分かりやすく、かつ、数学に親しみやすく書かれていて、これだけ数式など出てくるにもかかわらず、数学の本としては驚異的に読みやすい。

「秘密ノート」シリーズの方は、比較的レベルを抑えて、基礎的事項やそのイメージをつかむことを目的にしているように見受けられる。 その目的はおそらくうまく達せられている。図が多用されているのも、理解の助けに大いに役立っている。特に、いわゆる一次変換による2次元平面上での座標の移動（変換、投影）は素晴らしい。行列式の値との関連も図で説明されている。

数学ガールの秘密ノート 微分を追いかけて, 結城浩

2021-07-18 読了 (図書館)
SBクリエイティブ (2015)

「数学ガールの秘密ノート」シリーズ。「数学ガール」シリーズよりは、やや平易な内容というか題材を選んでいるように感じる。「数学ガール」シリーズ（といっても2冊しか読んでいないが）も式の展開は非常に丁寧で、1つ1つ追っていけば理解できるのはこの本も同じ。微分という概念を分かりやすく導入している。

そうはいってもそれだけでは終わらず、「パスカルの三角形」とか二項定理とか、ネイピア数 (e) とかが表れ、それらが関連していて面白い。

とんでもなく役に立つ数学, 西成活裕

2021年7月11日読了 (図書館)
朝日出版社 (2011)

高校生への講義の記録。現実世界のさまざまな問題解決に、数学を用いるということを、実例を示しながら解きほぐしてくれる。

西成先生は「渋滞学」で有名だが、そのエッセンスもわかる。もっとも渋滞の問題に関してはまさに「渋滞学」を読んだほうが良い。ここで扱われているのは、東京マラソンのように大勢のランナーが出場するマラソン大会があるとして、出場者全員がスタート地点を短い時間で通過するためにはどうすればよいか、という問題を、その本質を抜き出す単純化・理想化と、そこで働くメカニズム（前の人が動かないと自分が動けない、前に動いたという情報が後ろに波のようにある速度で伝わっていく、など）を数式で表し、それを解く作業。もう少し解説があった方が分かりやすいとも思うが、とにもかくにも、現実の問題を、数理を使って最適化できるという、その一連のながれを体験することができる。

高校生くらいの時にこのような講義を体験するのは、非常に良い経験になると思う。一方で、講義をする方は、準備や教える力など、相当大変な感じ。

数学ガール 乱択アルゴリズム, 結城浩

ソフトバンククリエイティブ
2021-05-08 読了 (図書館)

タイトルからは、乱数を生成するアルゴリズムについてかな、と漠然と思っていたら全然違った。乱数を使ったアルゴリズム（自信なし）という感じか。 主たる内容は、ソートのアルゴリズムの解析で、その実行回数の期待値を数式で表したり。かなり式変形も出てくるが、途中を省略せず解説してくれているので、まあ話の内容をフォローする程度にはついていける。（全てをきちんとフォローしたわけではないが）

さりとて、アルゴリズムの話ばかりでもなく、途中では行列の話が出てくる。連立方程式との関係とか、写像とか。個人的にはその部分も非常にためになった。 数学はやや苦手意識があるが、しかしこのシリーズのおかげで非常に豊かな内容を持っているということも気づくことができたので、別の巻も読んでみたい。

数学ガール, 結城浩

2021-02-14 読了（図書館） 

ソフトバンククリエイティブ

高校生で習うくらいの数学しか出てこないかと思ったら、とんでもなかった。ゼータ関数とか、数列の母関数とか、降下階乗とか。。このような本格的な数学の本を最後まで読ませてしまうのだから、すごい本だ。日本数学会から出版賞というのを受賞しているのもうなずける。

数学の本と言えば、公理、定理、その証明、などが淡々と（別の言葉では、無味乾燥、なにが面白いのかわからないように）書かれているというのが相場と思っていたが、そんな浅はかな思い込みを軽々と超越する。

小説としてみたら、かなりあり得ない設定（図書館で数式と戯れる「僕」のそばに、数学好きな女の子が現れて一緒に問題に取り組んだり議論したりする）だが、そのような舞台設定のために、読み進めようとする動機付けが得られる気もする。

別の点では、式変形を一切省略せず書かれているので、なんとか話についていける（気がする）のも大きいだろう。

シリーズの別の本も読みたくなった。

まぐれ, ナシーム・ニコラス・タレブ (著), 望月衛 (訳)

Fooled by Randomness, Nassim Nicholas Taleb
ダイヤモンド社
2012-05-08 読了

以前読んだ、同じ著者の「ブラックスワン」と同様に（出版はこの「まぐれ」の方が先）、話があっちゃこっちゃにとんで、かつ、例としてあげられている話や説明も、わざと分かりにくく言っているようにも見え、結局言いたいことがなにか、つかむのが非常に難しい文体だが、著者自身が書いているとおり、これはエッセイらしいので、そう思うと、少しだけ気が休まる。

それにしても（本筋以外の?）話題は非常に広範に及ぶ。神話や哲学、疫学、複雑性の科学、心理学、そして経済学。

だがこの著者の立場は、とにかく、正規分布や人間の合理的な行動などを前提とした、スタンダードなファイナンス理論などは、現実にはまったく役に立たない、ということのようだ。「ブラックスワン」でさらに話題になっているように、例えば市場における株価の変動は、正規分布にはならないし、滅多におこらないはずの大暴落など「10シグマの外れ値」も数年に1度は起こっているような気もする。たしかにそれを受け入れたら、年金基金などが一般に使っているように、過去の価格変動の標準偏差でその資産のリスクをはかる、というやり方では、当然ながらリスクを評価したことにはならない。さらに危険なことに、実際はそうではないのに「リスクを抑えた運用」などをしているつもりになってしまっているかもしれない。

個人的には、行動ファイナンスの話が面白かった。Daniel Kahneman, Amos Tversky の名前が何度も登場した。

著者は13章, 14章がいちばん言いたかったことのようだが、残念ながら私にはまったく分からなかった。それでも豊富な挿話やキーワードを見るだけでも、楽しめた。

以下、特に気になった記述を引用:

(2章) ダニエル・カーネマンとエイモス・トヴァスキーの実験:
ほとんどの人は、北アメリカのどこかで（何千人もの命を奪うような）壊滅的な洪水が起きる可能性よりも、カリフォルニアで地震があって（何千人もの命を奪うような）壊滅的な洪水が起きる可能性のほうが高いと判断する。
人は何か抽象的なことに対して保険を掛けるのを嫌う。彼らが注意するのは、いつも、もっと生々しいリスクのほうなのだ。

(2章) リスクに気づいたりリスクを避けたりといった活動のほとんどをつかさどるのは、脳の「考える」部分ではなく「感じる」部分なのだ（「リスクは感覚」だとする理論がそれだ）。リスクを避けようとするとき、合理的な考えは少ししか関係ないし、ほとんど関係ないと言っていい。

(3章) 期間を短くとると、ポートフォリオのリターンではなくリスクを観察することになる。つまり、見えるものはほとんどばらつきばかりだ。

(4章) 進化とは一つの、かつ、たった一つの時系列に適応することであって、あり得るすべての環境の平均に適応することではないのだ。

6章では、頻度（確率）と期待値の違いが述べられている。分布が対称なら、両者の違いはあまり気にしなくてよいが、非対称（稀にしか起こらないが、起こると大損・大儲けすることがあるなど）なら、頻度でなく期待値を考えないといけない。

(6章) ファイナンスの人たちは、彼らのやり方を真似て、めったに起きない事象を無視してしまった。だから彼らは、稀な事象のせいで企業が倒産したりすることに気づかない。（中略）ファイナンスでもそうだけれど、重大な結果をもたらす事象は、めったに起きなくても無視してはいけないのである。（「外れ値」を取り除いたりするが、それをして良い場合と悪い場合とがある）

(9章) 生存バイアスは当初の母集団の大きさに左右されるのを思い出そう。(中略) 知る必要があるのは、当初その人が属していた母集団がどれだけの大きさだったかということだ。

(11章: デボラ・ベネット「確率とデタラメの世界」より引用) ある病気の検査をしたところ5%の割合で偽陽性が出た。人口の1000分の1がこの病気に罹る。検査は被験者を無作為に選んで行われ、病気に罹っている疑いがあるかどうかは無関係だった。さて、ある患者を検査したところ陽性だった。この患者が罹患している確率は何%か?

ほとんどの医師は95%と答えた。検査結果は95%の確率で正しいと考えて出した答えである。正しい答えはこうだ。被験者が罹患していて、かつ、検査で陽性が出る確率は--約2%だ。

以下、答えを（頻度にもとづいて）単純化して説明する。偽陰性はないものと仮定しよう。検査した被験者1000人のうち病気に罹っている人の数は1人だと予想できる。全体のうち残りの999人は健康だが、そのうち約50人は病気に罹っているという検査結果が出る（正確さは95%だから）。正しい答えは、無作為に選ばれて検査結果が陽性だった人が病気に罹っている確率であり、次の式で計算できる。

罹患している人 / 真の陽性の人と偽陽性の人の数

ここでの数字を使えば、51人に1人だ。

(11章) 価格変化の重要度は線形ではない。2%の変化の重要度は1%の変化の2倍ではない。むしろ4倍から10倍の感じだ。7%の変化なら1%の変化の数10億倍も重要だ！

最後に注釈と、膨大な文献リストがあったが、その注釈に、（少なくとも私には）著者のストレートな主張の一つが書かれていた: (うろ覚えだが) 大事なことは、確率の計算が正しくできることではなく、どのような分布・構造になっているかを知ることだ

ブラック・スワン 不確実性とリスクの本質 (上)(下), ナシーム・ニコラス・タレブ (著), 望月衛 (訳)

The Black Swan, Nassim Nicholas Taleb
ダイヤモンド社 (上) (下)
2011-03-21 読了

「まえがき」からドキッとさせられることのオンパレードだ。だが読む前に想像していた、堅苦しい経済学の本とは全く異なり、読みにくいほどに冗談混じりのくだけた文体の、しかし非常に新鮮な、刺激的な自然観とでも言える話が展開される。

取り上げられる内容は、数学、経済学、物理学などにとどまらず、人間の認識論にまで及ぶ。つまり、人間は、頭の中で一旦、「理想」を作ってしまうと、自然はそうではないのに、理想に合わせて自然を見る目を歪めてしまう、ということだ。これは確かに思い当たる節がある。

「無知の知」だけでなく「不可知の知」

徹底的にガウス分布や「プラトン性」（こうあるべき、というものの見かた）というものを攻撃する。たしかにガウス分布は外れ値を無視してしまいがちだ。また、多くの場合、「平均」に意味はないが、拘ってしまう。（平均年収など）

それに関連して、特に金融・投資の分野では、ガウス分布（ノイズが打ち消しあう）に基礎をおいた「モダン・ポートフォリオ理論」を発展させたマーコヴィッツとシャープ、さらに彼らにノーベル賞を受賞した選考委員会をもこき下ろしている。これまで何度も「100年に一度」の異変が起こっているのに、そのような外れ値を扱うことのできないガウス分布に基づいた理論に、未だに機関投資家が頼っていることに吠えている。ただ、使っている方は、これくらいしか頼れるものがないのだろうが、著者は、そんなものでリスク管理ができていると考えるから、本当のリスクに備えられなくなるのだと主張する。

また、多くの金融機関が多様でなくなり、同様なツールで同じようなリスク管理をし、相互に強く依存するので、倒れる時も被害が甚大になる、というようなことを述べている。原著が出版されたのは2007年4月だそうで、サブプライムショックやリーマンショックよりも前にそのようなことを警告しているのは確かにすごいかもしれない。しかし著者自身がいうように、いつそれが訪れるかは予測することができない。

あと、投資に興味がある人にとって興味深いのが (下) P185 のグラフだ。ここには過去50年の、S&P500指数の変化と、その中で動きの大きかった（たった）10日を取り除いたもののグラフとを比べている。そして、その10日間を取り除くと、過去50年間のリターンは約半分になってしまうという。

マンデルブロを礼讃し、ガウス分布で表すことができるものは本当にランダムではなく、フラクタル的ランダムこそ真に気にする必要のあるランダムだと言っている。

著者は、ものごとを要約することにも注意が必要という感じだったが、一言で言うと、「先のことは分からない」ということと私的には解釈した。

とても稀な事象の確率は計算できない。でも、そういう事象が起こったときに私たちに及ぶ影響なら、かなり簡単に見極められる。

文庫で出てくれないかな。

運は数学にまかせなさい -確率・統計に学ぶ処世術, ジェフリー・S・ローゼンタール

Jeffrey S. Rosenthal, Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities
中村義作 (監修), 柴田裕之 (訳)
ハヤカワ文庫ノンフィクション
2010-12-28 読了

一般向けの確率の本ということで、条件付き確率などの解説を期待して読んでみた。どの章も身近なものから例をとっていて非常に読みやすい。カナディアンジョーク満載なのは好みが分かれるだろうが。しかも中間部には中休みとして、短編推理小説が入っている。カナダの森博嗣と呼べるかもしれない。それは文体という意味ではないけれど。

中でも、「モンティ・ホール問題」と名づけられた、昔のクイズ番組にあったような企画の確率の解説は、3通りもの説明を記載して読者の理解を助けている。

欲を言えば、もう少しだけ高度な内容も読みたかった。ベイズの定理の説明やそれを応用した薬の治験の話など。

著者の経歴に痺れる。